Probabilità da due soldi

È innegabile che l’abito delle probabilità sia fra i più controintuitivi della matematica. Ciò che lo rende particolarmente “pericoloso” è il fatto che all’apparenza sembra semplice, quasi scontato. Se infatti non si vanno a scomodare Measure Theory, sigma-algebre e altri oggetti matematici piuttosto complessi e sconosciuti ai più, la domanda “Qual è la probabilità che un determinato evento accada?” è generalmente ben compresa e dalla indubbia utilità. Ma c’è un motivo per cui i casinò sono sempre pieni di gente: la nostra mente viene ingannata molto, molto facilmente dai duri e freddi numeri, scontrandosi con le nostre illuse aspettative.

Il figlio di Martedì

Sebbene ritenga di aver ormai acquisito una certa dimestichezza con le probabilità, questo post trovato per caso su Reddit mi ha messo in crisi.

Mary ha due figli, e ti dice che uno dei due è un maschio ed è nato di martedì. Qual è la probabilità che l’altra figlia sia una femmina?

Il mio istinto mi ha immediatamente portato a pensare che la risposta ovvia, assumendo che la probabilità di avere un figlio maschio o femmina sia del $50\%$, fosse proprio $50\%$ e la distribuzione dei giorni di nascita fosse uniforme. Ma nei commenti ho visto gente piuttosto convinta che la risposta corretta fosse invece $\frac{14}{27}$, e questo mi ha fatto pensare che forse c’era qualcosa che mi stavo perdendo.

Figli per monete

Per venire a capo della questione, è utile semplificare il problema, trasformandolo in un lancio di due monete, dove la probabilità di ottenere testa o croce è del $50\%$ per ciascuna moneta. Per rendere l’analisi più chiara, possiamo rappresentare le possibili combinazioni di risultati con una tabella:

In altre parole, ci sono quattro possibili combinazioni di risultati, ognuna con una probabilità del $25\%$.

Le domande truccate

Quando si affronta un problema matematico, bisogna sempre stare estremamente attenti a come viene formulata la domanda, perché spesso è proprio lì che si nasconde il trucco. Il testo originale è un po’ ambiguo, quindi proviamo a riformularlo nel modo seguente:

Dopo aver lanciato due monete, se la prima è testa, qual è la probabilità che la seconda sia croce?

Basta osservare la tabella per capire che, dato che la prima moneta è testa, ci sono solo due combinazioni possibili: (T, T) e (T, C). Quindi, la probabilità che la seconda moneta sia croce è $\frac{1}{2}$, ovvero $50\%$.

Ma la domanda potrebbe anche essere formulata in questo modo:

Qual è la probabilità che, lanciando due monete, ottenga una testa ed una croce?

Anche in questo caso, osservando la tabella, vediamo che ci sono due combinazioni su quattro che soddisfano questa condizione: (T, C) e (C, T). La probabilità rimane quindi $\frac{1}{2}$, ovvero $50\%$.

Lanciate due monete e assumendo che ci sia almeno una testa, qual è la probabilità che ci sia anche una croce?

Ecco che la domanda cambia completamente il contesto. In questo caso, stiamo considerando solo le combinazioni che contengono almeno una testa, ovvero (T, T), (T, C) e (C, T). Tra queste tre combinazioni, solo due contengono una croce: (T, C) e (C, T). Quindi, la probabilità che ci sia anche una croce, dato che c’è almeno una testa, è $\frac{2}{3}$, ovvero circa $66.67\%$.

Qual è la probabilità che, lanciate due monete, ottenuta l’informazione che c’è almeno una testa, ci sia anche una croce?

In questo caso, l’informazione è parte del processo di aggiornamento delle probabilità. La probabilità che si verifichi l’evento “almeno una testa” che poi esclude la combinazione (C, C), lasciando solo le combinazioni (T, T), (T, C) e (C, T), è di $\frac{3}{4}$. Da quel momento in poi, possiamo procedere come nel caso precedente, considerando solo le combinazioni rimanenti, ottenendo una probabilità di $\frac{2}{3}$ per avere una croce. Combinando insieme queste due probabilità, otteniamo $\frac{3}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{2}$, ovvero $50\%$.

Insomma, dipende tutto da quali combinazioni stiamo considerando e dal fatto di ritenere l’indizio ottenuto come un evento probabilistico o come un’informazione che esclude alcune possibilità.

Conclusione

Tornando al problema originale, è il modo in cui interpretiamo la domanda che determina la risposta, e per comprendere quale sia la nostra interpretazione, basta domandarci a nostra volta: “Cosa avrebbe detto Mary se non avesse avuto un figlio maschio nato di martedì?”. Se la risposta è “Avrebbe aggiornato la sua affermazione”, allora la probabilità corretta è $\frac{1}{2}$, mentre se la risposta è “L’affermazione di Mary esclude questa possibilità”, allora la probabilità corretta è $\frac{14}{27}$.